191. На плоскости даны две точки Аи В и прямая l, проходящая через точку А и не проходящая через точку В. Через точки Аи В проводится произвольная окружность. 170.а)M и N — точки касания вписанной в треугольник АВС окружности со сторонами АВ и АС, Р — точка пересечения прямой MN с биссектрисой угла В. Докажите, что угол BPC прямой.
20 номеров игроков в клубах. Вводятся два целых числа K и N (2<=K<=16, 0<=N<=999). M - число слов в считалочке. R и центром в начале координат. N>2). Приведите один из возможных ответов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости? На другом рисунке плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников.
В пункте а) количество цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). В пункте б) второй задаче вы без труда найдёте решения с одним цветом и с тремя цветами. Без этого требования задача гораздо проще и менее интересна, чем с ним. Решите её в обеих формулировках! 8. Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны,— окажется чётное число спичек.
Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов. 18.а) Для любой точки М описанной около правильного треугольника АВС окружности длина одного из отрезков МА, МВи МС равна сумме длин двух других. 19. В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение». Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток.
Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из N клеток, соединённых в окружность,— будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет? 21. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите существование прямой, пересекающей по крайней мере четыре из этих окружностей.
Из 11 шаров 2 радиоактивны. Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки? 37*. В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.
41. Дана окружность, её диаметр AB и точка C на этом диаметре. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим?
49. На карточках написали все числа от 11 111 до 99 999 включительно и выложили эти карточки в цепочку в произвольном порядке. 50*. Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что хотя бы один из десяти таких треугольников остроугольный. 54. Два конгруэнтных прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. 55. Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом.
Задачи Олимпиад по Программированию
1979-1990 гг.
Докажите, что если заменить 14 на 15, то таких чисел несколько, а если на 17 — ни одного. 63. Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки.
197. В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений
70. Пусть l1, l2, …, ln — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Сформулируйте и докажите аналогичную теорему в пространстве. Если разрезать два ребра, то для любых вершин Аи В многогранника существует соединяющая их ломаная, идущая по оставшимся рёбрам.
Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой неотрицательна как сумма чисел любого столбца, так и сумма чисел любой строки. 83*. Числа первых n натуральных чисел ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.
91. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Второй игрок каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами).
В первый день Петя сделал и первое, и второе, и третье и очень устал.) Сколько будет у Пети «приятных» дней, когда нужно будет купаться, но не нужно ни ездить в магазин, ни решать задачи? 93. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице или минус единице. 94*. Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней — треугольник.
282. В клетках прямоугольной таблицы записаны натуральные числа. За один ход разрешено удвоить все числа одной строки или же вычесть единицу из всех чисел одного столбца
96. Пять положительных чисел таковы, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной. 97. В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A1B1, соединяющий середины диагоналей. 98. Верхняя строка таблицы состоит из одного лишь числа 1. Всякое другое её число равно сумме чисел, стоящих над ним непосредственно сверху, слева–сверху или справа–сверху. 99. В треугольнике ABC сторона AC — наибольшая.
Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отобразились в три точки, лежащие на одной прямой.
