Задача: Какое наибольшее количество осей симметрии может иметь фигура на плоскости, составленная из трех отрезков длин 3, 4 и 7

В полученной трапеции проведён отрезок A2B2, тоже соединяющий середины диагоналей, и так далее. Может ли в последовательности длин отрезков AB, A1B1, A2B2,… 130. Какое наибольшее число точек можно разместить а) на плоскости; б*) в пространстве так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был тупоугольным? 219. В пространстве заданы 4 точки,не лежащие в одной плоскости. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма аналогичных произведений будет не меньше, чем в первоначальной.

Большинство вопросов получают ответ в течение 10 минут ;) Войди и попробуй добавить свой вопрос. Если у вас возникли сложности в решении то вы можете воспользоваться ответами которые размещены на данной странице. 1 и l2, имеет ровно три оси симметрии. На другом рисунке плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников.

Бесплатная помощь с домашними заданиями

В пункте а) количество цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). В пункте б) второй задаче вы без труда найдёте решения с одним цветом и с тремя цветами.

Без этого требования задача гораздо проще и менее интересна, чем с ним. Решите её в обеих формулировках! Докажите неравенство m³n. В каких случаях возможно равенство? 8. Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички. Выигрывает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны,— окажется чётное число спичек.

Почему лучше зарегистрироваться?

Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов. 18.а) Для любой точки М описанной около правильного треугольника АВС окружности длина одного из отрезков МА, МВи МС равна сумме длин двух других. 19. В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение».

Пусть в начальный момент времени возбуждена только одна клетка. Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из N клеток, соединённых в окружность,— будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет? 21. Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Докажите существование прямой, пересекающей по крайней мере четыре из этих окружностей.

253. На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника

Из 11 шаров 2 радиоактивны. Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки? 33*. Рассмотрим натуральное число n > 1000. Найдём остатки от деления числа 2n на числа 1, 2, 3, …, n и сложим все эти остатки.

37*. В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы. 41. Дана окружность, её диаметр AB и точка C на этом диаметре.

Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим? 46. Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

50*. Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. 52. Пять отрезков таковы, что из любых трёх можно составить треугольник.

Докажите, что одно из трёх произведений H1M1 · A2A3, H2M2 · A3A1 и H3M3 · A1A2 равно сумме двух других

55. Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. 57.a) Найдите число, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей(включая 1 и само число).

63. Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки.

70. Пусть l1, l2, …, ln — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Сформулируйте и докажите аналогичную теорему в пространстве. 76. В некоторой компании у каждых двух незнакомых ровно двое общих знакомых, а у любых двоих знакомых нет больше ни одного общего знакомого. 80. В прямоугольной таблице расставлены произвольные числа. Разрешено одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки.

83*. Числа первых n натуральных чисел ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого. Второй игрок каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик.

93. Каждое из n данных чисел, выписанных вдоль окружности, было равно единице или минус единице. 94*. Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней — треугольник. 96. Пять положительных чисел таковы, что если из суммы любых трёх из них вычесть сумму двух оставшихся, то разность будет положительной.

197. В прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов записаны mn положительных чисел. Найдём в каждом столбце произведение чисел и сложим все n таких произведений. Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей; через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам и разрезавшие треугольник на m2 маленьких треугольников.