Точка P удалена от каждой стороны правильного треугольника на 30 см..

Пусть сторона треугольника равна а. Тогда расстояние от точки P до плоскости треугольника равно h = a/2 * √3.

Площадь вписанного в треугольник круга равна 575π см^2. Площадь круга равна πr^2, где r - радиус круга.

Так как треугольник правильный, то радиус круга равен половине стороны треугольника, то есть r = a/2.

Тогда площадь круга можно выразить через радиус: 575π = π(a/2)^2.

Упрощаем выражение: 575 = a^2/4.

Переносим 575 на другую сторону уравнения: a^2 = 4 * 575.

Находим квадратный корень: a = √(4 * 575) = √2300 = 10√23.

Теперь можем найти расстояние от точки P до плоскости треугольника: h = a/2 √3 = (10√23)/2 √3 = 5√69 см.

Ответ: расстояние от точки P до плоскости треугольника равно 5√69 см.